С Арменией знаменитого российского скрипача и дирижера связывает и личная жизнь. Жена Спивакова армянка, — это актриса и телеведущая Сати, с которой они познакомились в ереванском доме отца Сати – известного скрипача Заре Саакянца. Супруги вместе несколько десятков лет, вырастили двух дочерей. Заслуги музыканта отмечены наградами Армении: в 1989 г. было присвоено звание народного артиста Арм. ССР, в 1999 г. вручен Орден Св. Месропа Маштоца, в 2001 г. — медаль «Оливковая ветвь».

